SOP ( Sum Of Product ) dan POS ( Product Of Sum )

Bentuk Kanonik

·       Jadi, ada dua macam bentuk kanonik:

1.    Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)

2.    Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

Contoh: 1.  f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz  à SOP

          Setiap suku (term) disebut minterm

     2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

         (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z)  à POS

Setiap suku (term) disebut maxterm

·       Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

			Minterm		Maxterm
x	y		Suku	Lambang	Suku	Lambang
0 0 1 1		0 1 0 1	x’y’ x’y xy’ x y	m0 m1 m2 m3	x + y x + y’ x’ + y x’ + y’	M0 M1 M2 M3

			Minterm		Maxterm
x	y	z	Suku	Lambang	Suku	Lambang
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	x’y’z’ x’y’z x‘y z’ x’y z x y’z’ x y’z x y z’ x y z	m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7	x + y + z  x + y + z’ x + y’+z x + y’+z’ x’+ y + z x’+ y + z’ x’+ y’+ z x’+ y’+ z’	M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7

Contoh 7.10. Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

     Tabel 7.10

x	y	z	f(x, y, z)
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 0 0 1 0 0 1

Penyelesaian:

(a)   SOP

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah

f(x, y, z) =  x’y’z + xy’z’ + xyz

atau (dengan menggunakan lambang minterm),           

f(x, y, z) =  m₁ + m₄ + m₇ = å (1, 4, 7)

(b) POS

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010,  011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah

 f(x, y, z)  =  (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)

   (x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)

                                  

      atau dalam bentuk lain,                

f(x, y, z) =  M₀ M₂ M₃ M₅ M₆ = Õ(0, 2, 3, 5, 6)                                                 

Contoh 7.11. Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian:

     (a) SOP

     x  = x(y + y’)

         = xy + xy’

         = xy (z + z’) + xy’(z + z’)

         = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’

     y’z = y’z (x + x’)

           = xy’z + x’y’z

     Jadi  f(x, y, z)   = x + y’z

                                  = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z

                                  = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz

                       

       atau  f(x, y, z)   = m₁ + m₄ + m₅ + m₆ + m₇ = S (1,4,5,6,7)         

(b) POS

          f(x, y, z) = x + y’z

                        = (x + y’)(x + z)

          x + y’ = x + y’ + zz’

                    = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)

          x + z = x + z + yy’        

                  = (x + y + z)(x + y’ + z)

          Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)

                           = (x + y  + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

          atau f(x, y, z) = M₀M₂M₃ = Õ(0, 2, 3)                                                                

Konversi Antar Bentuk Kanonik

Misalkan

f(x, y, z)      = S (1, 4, 5, 6, 7)

dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,

f ’(x, y, z) = S (0, 2, 3)  = m₀+ m₂ + m₃

Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:

    f ’(x, y, z)  = (f ’(x, y, z))’ = (m₀ + m₂ + m₃)’

                       = m₀’ . m₂’ . m₃’

                     = (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’

            = (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)

            = M₀ M₂ M₃

            = Õ (0,2,3)

Jadi,  f(x, y, z) = S (1, 4, 5, 6, 7) = Õ (0,2,3).

Kesimpulan: m_j’ = M_j

Contoh.  Nyatakan

 f(x, y, z)= Õ (0, 2, 4, 5) dan

g(w, x, y, z) = S(1, 2, 5, 6, 10, 15)

dalam bentuk SOP.

Penyelesaian:

          f(x, y, z)      = S (1, 3, 6, 7)             

g(w, x, y, z)= Õ (0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14)                                                 

Contoh. Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’

Penyelesaian:

(a) SOP

f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’

                       = y’ (x + x’) (z + z’) + xy (z + z’) + x’yz’

             = (xy’ + x’y’) (z + z’) + xyz + xyz’ + x’yz’

                       = xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’

atau f(x, y, z) = m₀+ m₁ + m₂+ m₄+ m₅+ m₆+ m₇        

(b) POS

          f(x, y, z)  = M₃ = x + y’ + z’                                                                         

                                      

Bentuk Baku

Contohnya,

 f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz                 (bentuk baku SOP

f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’)       (bentuk baku POS)